Die Aufgabe:
Die Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y = x2 – 8x + 12. Die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel p2 hat den Scheitelpunkt S2(1l-7).
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- Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts Q1 der beiden Parabeln p1 und p2.
Die Parabel p1 schneidet die x-Achse in den Punkten N1 und N2.
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Berechnen Sie die Koordinaten von N1 und N2.
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Die Punkte N1, N2 und Q1 bilden ein Dreieck.
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- Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks N1Q1N2.
Der Punkt Q1 bewegt sich auf der Parabel p2 unterhalb der x-Achse. Dadurch entsteht der Punkt Q2 und somit das Dreieck N1Q1N2.
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Für welche Lage von Q2 wird der Flächeninhalt des Dreiecks am größten?
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Berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt.
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Die Aufgabe mit Platz zum Rechnen als PDF-Datei:
Lösungsschritte:
Funktionsgleichung von p2
Über den Scheitelpunkt S2(1|-7) kannst du die Funktionsgleichung von p2 in der Scheitelform bestimmen:
Die Scheitelform kannst du dann in die Normalform umwandeln:
Berechnung von Q1
Setze die Funktionsterme von p1 und p2 gleich und berechne x:
Setze x = 3 anschließend in eine der beiden Funktionen ein und berechne den zugehörigen y-Wert:
Berechnung der Nullstelle N1 und N2
Setze den Funktionsterm von p1 gleich 0 um die Nullstellen zu berechnen:
Flächeninhalt des Dreiecks
Das Dreieck N1Q1N2 hat eine Grundseitenlänge von 4 Längeneinheiten und eine Höhe von 3 Längeneinheiten:
Damit ergibt sich folgender Flächeninhalt:
Die Lage von Q2
Die größtmögliche Höhe hat das Dreieck N1Q2N2, wenn Q2 im Scheitelpunkt S2(1|-7) liegt:
Maximaler Flächeninhalt des Dreiecks
Mit Q2(1|-7) und einer maximalen Höhe von 7 Längeneinheiten ergibt sich ein maximaler Flächeninhalt für das Dreieck N1Q2N2 von:
Erklärfilm aus der SESAM-Mediathek:
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