Die Aufgabe:
Die Gerade g hat die Funktionsgleichung y = x + 2. Die Parabel p1 hat die Funktionsgleichung y = -x² + 8. Die Parabel p1 schneidet die Gerade g in den Punkten P und Q.
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Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte P und Q.
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Durch die beiden Schnittpunkte P und Q verläuft die verschobene nach oben geöffnete Normalparabel p2.
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Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunkts S2 von p2.
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Robin behauptet: ,,Das Dreieck mit den Punkten P, Q und S2 ist rechtwinklig.“
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Hat Robin Recht? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.
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Die Aufgabe mit Platz zum Rechnen als PDF-Datei:
Lösungsschritte:
Schnittpunkte der Schnittpunkte P und Q
Setze zuerst die Gerade g und die Parabel p1 gleich:
Setze dann die berechnete x-Werte in eine der beiden Funktionsgleichungen ein und berechne so die passenden y-Werte:
Erstelle ein lineares Gleichungssystem mit P und Q
Setze P(-3|-1) und Q(2|4) in y = x2 + bx + c ein und erstelle so ein lineares Gleichungssystem:
Nach c auflösen
Löse das lineare Gleichungssystem nach einer der beiden unbekannten auf; zum Beispiel nach c:
Berechnung von b und c
Durch Einsetzen kannst du nun b und c berechnen:
Scheitelform von p2 ermitteln
Setze b = 2 und c = -4 in y = x2 + bx + c ein:
Wandle die so entstandene Normalform in die Scheitelform um:
Berechnung der Seitenlängen des Dreiecks
Um Robins Behauptung zu überprüfen, berechnest du zuerst die Seitenlängen des Dreiecks PQS2 mit Hilfe des Satz des Pythagoras:
Satz des Pythagoras
Versuche den Satz des Pythagoras auf das Dreieck PQS2 anzuwenden. Ist dieser erfüllt, hat Robin recht, ansonsten nicht:
Erklärfilm aus der SESAM-Mediathek:
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